cho x>0;y>0;\(x+y\le1\) chứng minh \(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge4\)
Cho \(x>0;\) \(y>0;\) \(x+y\le1\). CM: \(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge4\)
\(VT\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (vì \(x+y\le1\) )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Ta có đpcm
Cho \(x;y>0\) thỏa mãn \(x+y\le1\). Chứng minh \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2020}{xy}\ge8082\)
\(VT=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{4039}{2xy}\)
\(VT\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{4039}{2.\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\dfrac{8082}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{8082}{1^2}=8082\)
Cho x>0, y>0 thỏa \(x+y\le1\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy
Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )
Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :
A >= 4/x+y = 4/1 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2
=> ĐPCM
Tk mk nha
Cho x > 0, y > 0 và \(x+y\le1\). Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\).
Áp dụng bđt : Với a>0 ; b>0 thì 1/b + 1/b >=4/(a+b) ta có :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( vì 0 = < x + y <=1)
a)Chứng minh x3 + y3 ≥xy(x+y) với x,y≥0
b)Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1
CMR:\(\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Cho x, y, z khác 0, \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)
Trước hết, ta đi chứng minh một bổ đề sau: Nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Thật vậy, ta phân tích
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(P=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
Hiển nhiên nếu \(a+b+c=0\) thì \(P=0\) hay \(a^3+b^3+c^3=3abc\), bổ đề được chứng minh.
Do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) nên áp dụng bổ đề, ta được \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\).
Vì vậy \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}\) \(=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\) \(=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\). Ta có đpcm
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy\) Với \(x>0;\) \(y>0;\) \(x+y\le1\)
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{4.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(\ge\dfrac{4}{1^2}+2+\dfrac{5}{1^2}\) (do \(x+y\le1\))
\(=11\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là 11.
a, Cho x, y, z > 0 \(\in[0,1]\). Chứng minh:
\(\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}< 2\)
b, x, y, z > 0 : xyz = 1. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2+2y+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le2\)
giải bài toán: Cho x>0; y>0 và x+y≤1. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)≥4
áp dụng bđt dang Engel
P=1/[x(x+y) ]+1/[y(x+y) ]
=1/(x+y). (1/x+1/y)
=1/(x+y). [(x+y) /xy]=1/(xy)
x+y≤1,x, y>0=>x.y≤1/4
p≥1/(1/4)=4
đẳng thức khi x=y=1/2